فلسفه‌ی منطقِ فرگه

آنتونی کنی

ترجمه‌ی  بهرام اسدیان

                                                        بخش پایانی


■ فلسفه‌ی منطقِ فرگه

فرگه فقط پایه‌گذار منطق جدید نبود؛ او نظام منسجم فلسفیِ جدید فلسفه‌ی منطق را با تمایزی دقیق و هوشمندانه بنا کرد؛ به این ترتیب که رفتار فلسفی منطق را از یک طرف از روان‌شناسی متمایز کرد (که فلاسفه‌ی سنت تجربی اغلب آن را با این نوع نگاه به منطق عوضی می‌گرفتند) و از طرف دیگر، از شناخت‌شناسی (که فلاسفه‌ی سنت دکارتی گاهی آن را با منطق ترکیب می‌کردند). فرگه دست به ابداع مفاهیمی همچون اسم و جمله و محمول زد که از دامنه و ظرافت بیشتری نسبت به ابداعاتِ ارسطو برخوردارند. یکی از تدابیر زایای فرگه، اطلاقِ مفاهیم ریاضیِ تابع(1) و سرشناسه(2) به عباراتِ زبان عادی بود که در منطق سنتی، ”محمول“ و ”موضوع“ نامیده می‌شوند. به همین خاطر است که فرگه جمله‌ای را مثل ”سقراط دانا است“ با این استدلال که این جمله ارزشِ تابعِ ”- دانا است“ به ازاء سرشناسه‌ی ”سقراط“ است، تحلیل می‌کرد؛ و در جمله‌ی ”قیصر، گآول را تسخیر کرد“، عبارت] بخش محمولی[ ”- تسخیر کرد- را“ تابعی است نه، یک، که با دو سرشناسه: ”قیصر“ و ”گآول“.

فرگه می‌گوید بنابر تفاوتی که در زبان میان تابع‌های مرتبه‌ی اول و سرشناسه‌های آن وجود دارد، باید تفاوتی اساسی و سیستماتیک میان مفهوم‌ها (Concept) و شیءها (Objects) ـ که همتاهای آنتولوژیک یا وجودی آن‌ها هستند ـ قائل شد. آن چه در زبان به شیء دلالت می‌کند و نماینده‌ی آن است، اسم خاص است. شیءها، انواع زیادی دارند: از انسان‌ها گرفته تا اعداد. مفهوم بخشی از جمله است که ناتمامیتی ذاتی دارد؛ یعنی چنان که فرگه می‌گفت این ناتمامیت ناشی از شکاف و خلأ یک محمول است. (بنابراین، جمله‌ای با یک یا چند اسم خاص، این شکاف را پر می‌کند.)

آن وقتی که فیلسوفان به گونه‌ای گنگ و نارسا از معنای(3) یک عبارت حرف می‌زدند، فرگه تمایزی را مطرح می‌کند میان مصداق(4) ]= ارجاع[ یک عبارت (یعنی شیءای که به آن نام نامیده می‌شود، مانند ستاره‌ی صبح که مدلول یا مصداق سیاره‌ی زهره است) و معنای(5) ]= مفهوم[ یک عبارت که چیزی کاملا متفاوت است (”ستاره‌ی شب“، در معنا، از ”ستاره‌ی صبح“ متفاوت است؛ اما همان‌طور که فضانوردان هم کشف کرده‌اند، می‌دانیم که هر دوِ آن‌ها یک چیزند و به سیاره‌ی زهره برمی‌گردند.)

تمایزِ بسیار مناقشه برانگیز فرگه میان معنا و مصداق، منجر به این نظریه‌ی او شد که مصداق یک جمله، ارزشِ صدق آن جمله است. به این ترتیب، جمله‌ای مثل ”قیصر کشته شد“ صادق است، ولی جمله‌ی ”قیصر در بسترش مرد“ کاذب است. به این نظریه‌، این دو تز ربط پیدا می‌کند: 1. در هر زبانی که از لحاظ علمی معتبر باشد، هر نامی یا عبارتی باید مصداقی داشته باشد؛ 2. هر جمله یا باید صادق باشد یا کاذب. این نکته دشواری‌ها و اشکال‌های بسیاری را به بار می‌آورد. فرگه نیز تلاش کرد تا بر آن‌ها فایق شود؛ ولی با تردید می‌توان گفت که تلاش‌های او موفقیت آمیز بوده است.

■ فلسفه‌ی ریاضیاتِ فرگه

کانت بر این عقیده بود که صدق‌های ریاضیات، ترکیبی پیشینی هستند و شناخت ما از آن‌ها نه بر اساس تحلیل است و نه بر اساس تجربه، بلکه بر شهود استوار است. میل، با این حرف کاملا مخالف بود.‌ او می‌گفت که صدق‌های ریاضی پسینی‌اند، و بنابراین، تعمیم‌های تجربی در سطحی گسترده بر آن‌ها قابل اعمال و اطلاق‌اند و این نوع صدق‌ها نیز در سطحی گسترده تأیید می‌شوند. فرگه با آرای هر دو سلفش مخالفت داشت: او معتقد بود که صدق‌های حساب به هیچ وجه ترکیبی نیستند؛‌ آن‌ها نه پیشینی‌اند و نه پسینی. او در مورد هندسه با کانت هم نظر بود که متکی به شهود پیشینی است؛ ولی فرگه حساب را بر خلاف هندسه‌ی تحلیلی می‌دانست.

همان‌طور که دیدیم فرگه نشان داده بود که چگونه می‌توان منطق را به شیوه‌ی ریاضی نمایش داد. ولی با این حال، می‌گفت که نسبت میان منطق و ریاضیات، از این حرف بسیار عمیق‌تر و پچیده‌تر است. او معتقد بود می‌توان اثبات کرد که حساب، شاخه‌ای از منطق یا دنباله‌ی آن است. بدین معنی که حساب به موضوع خاص خود می‌پردازد که می‌توان آن را بدون استفاده از هرگونه اصول موضوعه یا نمادهای غیرمنطقی صورت‌بندی کرد. در نظام فرگه، مفهوم حسابیِ عدد جای خود را با مفهومِ منطقیِ ”مجموعه“ عوض کرده است؛ معنیِ‌ اعدادِ اصلی می‌تواند به عنوانِ‌ مجموعه‌های مجموعه‌هایی با تعداد عضوهای یکسان تعریف شود. به این ترتیب، عدد دو،‌ مجموعه‌ی زوج، (دو تایی‌ها یا جفت‌هاست) و عدد سه، مجموعه‌ی سه‌ تایی‌ها. ممکن است از ظاهر ماجرا بگوییم این تعریف دوری است، حال آن که چنین نیست؛ چون ما می‌توانیم بی آن که از مفهوم عدد استفاده کنیم بگوییم معنای دو مجموعه‌ای که شماره‌ی عضوهایشان یکی‌ست چیست. به همین خاطر است که مثلاً، اگر یک پیش‌خدمت به میز غذا نگاه کند و بفهمد که فقط یک کارد در سمت راست هر بشقاب است، آن وقت خواهد دانست که به همان تعدادی که بشقاب روی میز است کارد هم هست، بی آن که بداند از هر کدام چند عدد وجود دارد. زمانی تعداد عضوهای دو مجموعه یکی است که عضوها بتوانند یک به یک به یکدیگر نگاشته شوند. چنین مجموعه‌هایی را می‌توان ”مجموعه‌های هم ارز“ (6) نامید. اکنون می‌توانیم در تعریفی که از عدد در بالا ارائه دادیم، تجدید نظری کنیم، و بگوییم که یک عدد، مجموعه‌ای است از مجموعه‌های هم‌ارز. برای تعریف عدد خاصی مثل n، باید مجموعه‌ای مشخص را با n عضو در نظر بگیریم و عدد n را به عنوان مجموعه‌ی همه‌ی مجموعه‌های هم ارز با آن تعریف کنیم. از این رو می‌توانیم عدد چهار را به عنوان مجموعه‌ی همه‌ی مجموعه‌هایی تعریف کنیم که با مجموعه‌ی کاتبان انجیل(7) هم ارز باشد. اما تعاریفی از این دست،‌ آشکارا برای برنامه‌ی لوجیسیسم(8) فرگه بی‌ثمر است، چرا که هیچ بخشی از منطق نیست که در آن، چهار و تنها چهار کاتب انجیل وجود داشته باشد. به همین خاطر، ما نیاز داریم برای هر عدد مجموعه‌ای با اندازه‌ی مناسب پیدا کنیم که اندازه‌ی آن را منطق مشخص کرده باشد.

 بهترین راه برای رسیدن به این هدف، آن است که کارمان را از صفر شروع کنیم. اگر بخواهیم از عباراتِ منطقیِ محض استفاده کنیم‌ می‌توانیم صفر را به عنوانِ مجموعه‌ی همه‌ی مجموعه‌هایی تعریف کنیم که تعداد عضوهایشان با تعداد عضوهای مجموعه‌های شی‌ءهایی که با خودشان این‌همان نیستند یکی است؛ چون هیچ شیءای وجود ندارد که با خودش این‌همان نباشد، آن مجموعه، هیچ عضوی ندارد. دو مجموعه با عضوهای یکسان، در واقع یک مجموعه هستند، بنابراین تنها یک مجموعه وجود دارد که هیچ عضوی ندارد و آن را “مجموعه تهی” می‌نامند. پس، صفر مجموعه‌ای ست که تنها عضوش مجموعه‌ی تهی است.

از این واقعیت که فقط یک مجموعه‌ی تهی وجود دارد در تعریف عدد یک استفاده می‌کنیم؛ به این معنا که یک به عنوانِ مجموعه‌ی همه‌ی مجموعه‌هایی تعریف می‌شود که با مجموعه‌ی مجموعه‌های تهی هم ارز است. حالا که صفر و یک را با عباراتِ منطقیِ محض تعریف کردیم، دو را می‌توانیم به عنوان مجموعه‌ی مجموعه‌هایی تعریف کنیم که تعداد عضوهایشان با تعداد عضوهای مجموعه‌ای که عضوهایش صفر و یک است، یکی‌ست، و سه را به عنوان مجموعه‌ی مجموعه‌هایی تعریف کنیم که تعداد عضوهایشان با تعداد عضوهای مجموعه‌ای که شامل صفر و یک و دو است، یکی‌ست. فرگه، از این روش برای به دست دادن تعریفی کلی از مفهومِ ”توالی“ استفاده کرد؛ به این معنا که همه‌ی اعداد دیگر نیز (مثل چهار که تالیِ سه است و پنج که تالیِ چهار است و همین طور تا بی‌نهایت) می‌توانند تعریف شوند، بی‌آن که از هیچ مفهومِ‌ دیگری به جز مفاهیمِ‌ منطقی‌ای مانند این‌همانی، مجموعه، عضویت مجموعه‌ها و هم ارزی مجموعه‌ها استفاده کنیم.

بر گرفته از:

Pears, D. & Kenny, A.: “Mill to Wittgenstein”, in The Oxford Illustrated History of Western Philosophy, oxford (1994)

پی نوشت ها:

1. Function

2. Argument

3. meaning

4. reference

5. sense

6. equivalent classes

7. منظور هر یک از چهار نویسنده‌ی انجیل است؛‌ یعنی متی و مرقس و لوقی و یوحنا

8.  logicism همان برنامه‌ی فرگه در تحویل ریاضیات به منطق است

نتتلونت

تنالناتنات

 قیل و قال، نشریه ی گروه فلسفه دانشگاه تهران، شماره ۲، سه شنبه ۳ آذر ۸۳